Στρατηγική εναντίον του παιγνιδιού.

Για υπερβολικά μεγάλο χρονικό διάστημα έπαιζα παρτίδες εναντίον του ιδίου του παιγνιδιού. Θεωρούσα δηλαδή ότι, αντικειμενικά και ανεξαρτήτως αντιπάλου, υπάρχει βέλτιστη στρατηγική δια της οποίας επιτυγχάνεται νίκη. Το ζητούμενο, είτε σε μελέτη είτε σε αγώνα, ήταν να βρεθεί αυτή η στρατηγική. Αυτή η θεώρηση δημιουργούσε μεγάλη πίεση για εύρεση βέλτιστης κίνησης και συγχρόνως αδικαιολόγητη απογοήτευση όταν ένα όποιο πλεονέκτημα θέσης δεν ήταν δυνατόν να υλοποιηθεί.

Όταν κάποιος υπερυπολογιστής λύσει το παιγνίδι, κάθε θέση θα μπορεί να αντιστοιχηθεί στους αριθμούς {-1, 0, 1} ανάλογα με το αποτέλεσμα στο οποίο θα καταλήγει το βέλτιστο παίξιμο και των δύο πλευρών. Τότε θα υπάρχει αντικειμενική αξιολόγηση ακόμα και της αρχικής θέσης.

“Μια φορά στο τόσο, μια ιδέα σαρώνει τον κόσμο του μπριτζ και φέρνει επανάσταση στη σκέψη. Ο λεγόμενος Νόμος των Ολικών Μπαζών είναι τόσο ακριβής στην εκτίμηση των δυνατοτήτων στην ανταγωνιστική αγορά και τόσο εύκολος στη χρήση, ώστε εισάγεται (σημ.μτφ. στο βιβλίο) νωρίς και χρησιμοποιείται για να δικαιολογήσει πολλές επακόλουθες αποφάσεις πλειοδοσίας.”

Από το βιβλίο “Understanding the contested auction” των Ron Klinger και Andrew Kambites.

Μια φορά και έναν καιρό, έπαιζα μπριτζ.

Τρισδιάστατη Απεικόνιση Τονικής Αρμονίας για MIDI

Παραδείγματα χρήσης
MIDIport ▶ | FluidSynth ▶ | Windows ▶

Η συστηματική καταγραφή σκέψεων, επί της μουσικής αρμονίας, οδήγησε στην τοποθέτηση των δώδεκα μουσικών τόνων επί κατασκευάσιμης τρισδιάστατης επιφάνειας ομφαλικού δακτυλίου. Σε αυτήν την οπτικοποιημένη ζεύξη μαθηματικών και μουσικής έδωσα την προσωπική ονομασία Χωλίδειος αρμονική δομή.

Τρισδιάστατη Απεικόνιση Τονικής Αρμονίας για MIDI

Παραδείγματα χρήσης
MIDIport ▶ | FluidSynth ▶ | Windows ▶

Η συστηματική καταγραφή σκέψεων, επί της μουσικής αρμονίας, οδήγησε στην τοποθέτηση των δώδεκα μουσικών τόνων επί κατασκευάσιμης τρισδιάστατης επιφάνειας ομφαλικού δακτυλίου. Σε αυτήν την οπτικοποιημένη ζεύξη μαθηματικών και μουσικής έδωσα την προσωπική ονομασία Χωλίδειος αρμονική δομή.

Πριν από περίπου τρεισήμισι δεκαετίες, προ της εμφάνισης των υπολογιστών, έπαιζα κλασική κιθάρα. Σε κάποια στιγμή θέλησα να εκφραστώ και, αφού αγόρασα και μελέτησα ένα βιβλίο αρμονίας, συνέθεσα ένα κομμάτι. Λόγω των ασυνήθιστων συγχορδιών του όμως, δυσκολευόμουν να κρατήσω το τέμπο. Μετά ήρθαν οι υπολογιστές με DOS και πιθανώς με τα πρώτα windows, γνώρισα τα midi. Το κομμάτι, μετά από αρκετές προσπάθειες και διαχωρισμό των φωνών σε όργανα, κάπως κατάφερνε να ακουστεί. Από τότε, για τριάντα και πλέον χρόνια, είχα εδραιωμένη την πεποίθηση ότι είχα συνθέσει κάτι και ότι χρειαζόταν απλώς ένας πραγματικός μουσικός, που με ελάχιστη επιμέλεια θα το έκανε να ακουστεί καθώς πρέπει. (Κούνια που με κούναγε!)

Μετά τον κύκλο των πέμπτων και τις διατονικές, συνεχίζοντας να διαβάζω για τα θεμελιώδη της μουσικής θεωρίας, διαπιστώνω ότι το μουσικό ρολόι μπορεί να βοηθήσει στην εύκολη αναγνώριση των διαστημάτων της συνήθους μουσικής ορολογίας.

Μουσικά διαστήματα

Ορολογία

Ένα μουσικό διάστημα, ως η διαφορά ανάμεσα σε δύο τονικά ύψη, μπορεί να οριστεί με απόλυτο τρόπο σαν το πλήθος των ημιτονίων που τα χωρίζουν. Το σύνολο όμως των ημιτονίων μιας οκτάβας είναι 12, ενώ οι νότες μιας κλίμακας 7. Η σχέση των τόνων σε μια μελωδία είναι αναγκαίο να εκφραστεί σαν σχέση μεταξύ των 7 τόνων της κλίμακας που χρησιμοποιείται. Έτσι, για τον καθορισμό ενός διαστήματος, είναι αναγκαίο να χρησιμοποιηθούν δύο όροι. Ο πρώτος ουσιαστικός όρος θα δείχνει την σχέση με τους 7 τόνους της κλίμακας και ο δεύτερος, ως επίθετο του πρώτου, θα προσδιορίζει το ακριβές διάστημα σε πλήθος ημιτονίων.

Η Λα μινόρε κλίμακα είναι σχετική με την Ντο ματζόρε, ως προς το ότι μοιράζονται την ίδια, κενή, υπογραφή κλειδιού. Αποτελούν δύο διαφορετικές επτάδες άσπρων πλήκτρων στο πιάνο. Επειδή η νότες επαναλαμβάνονται ανά οκτάβες, θα μπορούσαν να υπάρχουν άλλες πέντε διαφορετικές σειρές άσπρων πλήκτρων, δηλαδή με την ίδια, κενή, υπογραφή, που να ορίζουν διαφορετικές τονικότητες. Καταλάβαινα ότι, κατά το μείζον, επιβλήθηκαν οι δύο που προαναφέρθηκαν, αλλά πάντα αναρωτιόμουν για τις υπόλοιπες, με την κενή υπογραφή, κλίμακες.

Η απλή ιδέα

Για την αναγνώριση μιας κλίμακας: Θεωρήστε το ρολόι ως χρωματική κλίμακα όπου το Ντο (C) είναι στις 00:00 και κάθε ώρα αντιστοιχεί σε ένα ημιτόνιο (C#=1, D=2, κ.λπ.). Κάθε δίεση (#) στην υπογραφή προσθέτει 7 ώρες στο ρολόι, ενώ κάθε ύφεση (♭) προσθέτει 5 ώρες. Για παράδειγμα, 3 διέσεις = 3 * 7 = 21 ώρες. Στο 12ωρο ρολόι, το 21:00 είναι 9:00 (Λα/A Ματζόρε). Για τη σχετική μινόρε, κοιτάξτε 3 ώρες νωρίτερα (6:00 είναι η Φα#/F# μινόρε).

Κάποτε, όταν εργαζόμουν, χρησιμοποιούσα το librcad. Όταν το πρωτοχρησιμοποίησα, είχα δυσκολίες με την εκτύπωση ελληνικού κειμένου στα σχέδια. Δεν χρειάζομαι πια το librecad, αλλά το έτρεξα πρόσφατα, από περιέργεια να δω αν τα ελληνικά είναι πια ενσωματωμένα. Παρά την ύπαρξη έξι ελληνικών γραμματοσειρών, δεν μπόρεσα να γράψω ελληνικά με άνεση (τουλάχιστον με την εντολή MText).

Σε μια δημοσίευσή μου, είχα αναφέρει ότι, για να λύσω το πρόβλημα, αναδιοργάνωσα το greeks.lff για να βάλω τους χαρακτήρες στα κατάλληλα, για σήμερα, πλήκτρα του πληκτρολογίου και σχεδίασα και ένα τελικό ‘ς’. Το τροποποιημένο αρχείο το ονόμασα greeks-mine.lff. Επίσης, για να έχω τα ελληνικά στο unicode συγχώνευσα το greeks-mine.lff στο unicode.lff και πρόσθεσα τα φωνήεντα με τόνους. Αυτό το τροποποιημένο αρχείο το ονόμασα unicode-mine.lff. Δεν γνωρίζω αν υπάρχει πρόβλημα αδειών, όπως αναφέρεται σε άλλη δημοσίευση, αλλά οι γραμματοσειρές μου δουλεύουν άψογα ακόμα και σήμερα.

Σήμερα ψάχνοντας για ιταλικό τραγούδι, έπεσα ξανά πάνω στον Giorgio Gaber. Τον είχα προσέξει στο παρελθόν αλλά πρώτη φορά τον ξαναπρόσεξα μετά την μελέτη της θεωρίας παιγνίων.

Αυτήν την φορά εξεπλάγην με το πως, με καλλιτεχνικό τρόπο, στο Democracy διατυπώνεται ακριβώς το ίδιο επιχείρημα με αυτό των σελίδων 5-6 του pdf αυτής της σελίδας. Είναι το ίδιο επιχείρημα που χρησιμοποιείται και στον αλγόριθμο του ψηφοφόρου, ώστε, στο τέλος, να εξαχθεί το συμπέρασμα της σύγκλισης του νοήματος των εκλογών.

Η βέλτιστη ατομική στρατηγική ενός ψηφοφόρου στο παιγνίδι των εκλογών

Παρουσιάζεται προσεγγιστικός αλγόριθμος ο οποίος προτείνει τέτοια στρατηγική ψήφο στο παιγνίδι των εκλογών, ώστε, από πλευράς ψηφοφόρου, να του αποδώσει την μέγιστη δυνατή αναμενόμενη απολαβή, στην απειροελάχιστη περίπτωση που η ψήφος του τύχει να είναι αποφασιστική.

Κατόπιν εξετάζεται πως η βέλτιστη στρατηγική στο παιγνίδι των εκλογών, από πλευράς υποψηφίων, καθοριζόμενη από το θεώρημα του διάμεσου ψηφοφόρου, τείνει να αλλοιώσει το νόημα των ίδιων των εκλογών.

Κατά την διάρκεια του κοινωνικού σοκ που προκάλεσε το σιδηροδρομικό δυστύχημα στα Τέμπη, σε μια τηλεοπτική εκπομπή διατυπωνόταν επανειλημμένως το ερώτημα “γιατί οι πολιτικοί κάνουν τέτοιες δηλώσεις, ωσάν να απευθύνονται σε ανόητους?”. Έστειλα την απάντησή μου, με σκέψεις που βασίζονται στην θεωρία παιγνιδιών.

Η απάντησή μου είχε δύο σκέλη.

Στο πρώτο σκέλος, η απάντηση στην ερώτηση ήταν απλή και δεν χρειαζόταν καμία χρήση μαθηματικών, παρά μόνο την κοινή λογική.

Εφόσον ζούμε σε ένα status quo όπου όλοι πράττουν το βέλτιστο, τότε οι πολιτικοί έχουν δίκιο και είμαστε ανόητοι.

Η βέλτιστη ατομική στρατηγική ενός ψηφοφόρου στο παιγνίδι των εκλογών

Παρουσιάζεται προσεγγιστικός αλγόριθμος ο οποίος προτείνει τέτοια στρατηγική ψήφο στο παιγνίδι των εκλογών, ώστε, από πλευράς ψηφοφόρου, να του αποδώσει την μέγιστη δυνατή αναμενόμενη απολαβή, στην απειροελάχιστη περίπτωση που η ψήφος του τύχει να είναι αποφασιστική.

Κατόπιν εξετάζεται πως η βέλτιστη στρατηγική στο παιγνίδι των εκλογών, από πλευράς υποψηφίων, καθοριζόμενη από το θεώρημα του διάμεσου ψηφοφόρου, τείνει να αλλοιώσει το νόημα των ίδιων των εκλογών.

Μόλις ολοκλήρωσα την ανάγνωση του βιβλίου “An introduction to Game Theory” του Martin J. Osborne. Ένα πραγματικά υπέροχο βιβλίο, που φαίνεται να επηρέασε ακόμα και την καθημερινή μου σκέψη. Το μόνο πρόβλημά του, για μένα, είναι ότι προσπαθεί υπερβολικά να μην κάνει απαραίτητη, για τον αναγνώστη του, την χρήση ακόμα και της στοιχειώδους άλγεβρας.

Η ομορφιά του όμως, βρίσκεται κυρίως στις προσεκτικά επιλεγμένες ασκήσεις. Στην αρχή του βιβλίου φαίνονται τόσο στοιχειώδης που σε κάνει να αναρωτιέσαι, ακόμα και να βαριέσαι τον κόπο να τις λύσεις. Ξεδιπλώνονται όμως, από τα μέσα του βιβλίου και μετά, με τρόπο αναπάντεχα όμορφο και ευρηματικό.

Μοντελοποιείται και επιλύεται, ως στρατηγικό παιγνίδι, η διαδικασία περί της απόφασης για την θέρμανση των ορόφων ενός κτίσματος. Το κείμενο απευθυνόταν σε αναγνώστη που είχε γνώση του βιβλίου “An introduction to Game Theory” του Martin J. Osborne οπότε, στην επίλυση του μοντέλου, γίνονται πολλές αναφορές στις σελίδες του συγκεκριμένου βιβλίου. Όμως, τα αποτελέσματα της επίλυσης και οι σκέψεις για την υποκειμενική αξία του χρήματος δεν φαίνεται να χάνουν το ενδιαφέρον τους, ακόμα και όταν η πρόσβαση στο βιβλίο δεν είναι δυνατή. Για αυτό, ίσως σας ενδιαφέρει να διαβάσετε για το παιγνίδι της θέρμανσης εδώ.